A Matemática e o dinheiro: à vista ou a prazo?

A Matemática e o dinheiro: à vista ou a prazo?

(Artigo organizado por Marcos Antônio Colins, professor de Matemática da Rede Estadual de Ensino do Maranhão)

Um dos problemas mais comuns de encontrarmos no nosso dia-a-dia refere-se à decisão de comprar à vista ou a prazo uma determinada mercadoria. Somos sempre tentados pela propaganda, com promoções do tipo “20% de desconto à vista ou em três vezes sem acréscimo”. A melhor decisão dependerá de uma série de fatores, como taxas de juros e disponibilidade do comprador.

Vamos mostrar aqui que, mais uma vez, o valor do dinheiro no tempo, os fatores de correção e as progressões geométricas serão fundamentais para nossa escolha correta.

É claro que existirão casos em que as opções serão equivalentes e, nesses casos, tanto faz uma escolha ou outra. Vejamos um exemplo: Júlia conseguiu um tipo de investimento que lhe paga juros de 5% ao mês pelo dinheiro que aplicar. Ela entrou numa loja e viu que uma calça jeans pode ser comprada à vista por 80 reais ou ser adquirida com um cheque pré-datado, para 30 dias, por 84 reais. Repare que, neste exemplo, as duas opções são equivalentes, pois se ela aplicar os 80 reais por 30 dias, vai receber de juros 4 reais (5% de 80) o que permitirá exatamente cobrir o cheque pré-datado.

Portanto, todas as decisões que envolvem compras ou investimentos estão apoiadas no fato de o valor que o dinheiro terá ou teve numa outra data, levando-se em conta a taxa de juros que incide sobre os valores aplicados (pode ser a da caderneta de poupança, por exemplo).

Logo, se a taxa vigente para as aplicações (taxa de atratividade do mercado) for de 3% ao mês, 100 reais hoje valerão 103 reais em um mês, valerão 106,09 reais em dois meses (multiplicando 100 × 1,03²), valerão 109,27 reais em três meses (multiplicando 100 × 1,03³), e valerão 100 × 1,03ⁿ daqui a n meses.

Verifique que o fato que mostramos nada mais é que a utilização prática da fórmula dos juros compostos.

Podemos assim resumir o que acabamos de mostrar:

Um valor monetário M, valerá daqui a n meses, aplicado sob taxa fixa i, ao mês, M × (1 + i)ⁿ. (Com a taxa i expressa na sua forma decimal.)

M → (valorização no tempo) → M × (1 + i)ⁿ

Analogamente, caso o valor fosse considerado num período anterior, ou seja, n meses ou períodos antes, o valor do dinheiro seria igual a M ÷ (1 + i)ⁿ.

M → (desvalorização no tempo) → M ÷ (1 + i)ⁿ.

Podemos afirmar que na Matemática Financeira, no regime de juros compostos, todos os problemas se resolvem com o que acabamos de mostrar. O valor do dinheiro numa data futura fica multiplicado por (1 + i)ⁿ (ou Fⁿ) e numa data anterior, fica dividido por (1 + i)ⁿ (ou Fⁿ).

Exemplo 1: Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2002. Acontece que Lídia ganhou um dinheirinho extra e está propondo à loja, pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2002, ou seja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia terá de pagar?

Solução: Como se trata de uma antecipação de pagamento é claro que Lídia pagará um valor menor. Aplicando o que vimos anteriormente, o valor será igual a 80 ÷ (1,05) = 76,19 reais.

Exemplo 2: Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5 000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2 500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?

Solução: Seja P o valor do pagamento feito no mês da liquidação do débito. Temos o seguinte: 2 500 × 1,05 + P = 5 000 × (1,05)³. Daí, segue-se que 2 625 + P = 5 788,13. Logo, P = 3 163,13.

Resposta: Vinícius deverá pagar uma segunda parcela de R$ 3 163,13.

[O que fizemos foi o seguinte: “empurramos” todos os valores para uma mesma data (por exemplo, para o mês 3) e igualamos as entradas (empréstimo) às saídas (pagamentos periódicos).]

Nota: Entendemos que fica mais fácil perceber o que está ocorrendo mostrando um gráfico da situação – é o que chamamos de fluxo de caixa. O leitor interessado poderá fazer tal gráfico.

Exemplo 3: Uma loja oferece uma mercadoria à vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?

Solução: Nesse caso está faltando o valor da taxa de juros cobrada, sugerimos chamar a incógnita do problema de F, que é o nosso fator de correção. Fica mais simples trabalhar com essa variável do que com 1 + i. No final do problema, subtraindo 1 do valor encontrado, teremos a taxa procurada.

Sugerimos agora “empurrar” todos os valores para a data 2 e igualar as entradas (valor à vista) às saídas (prestações). Assim, temos: 400F² = 220F + 220 → 40F² = 22F + 22 ou 20F² – 11F – 11 = 0.

Resolvendo a equação do segundo grau, obteremos F ≅ 1,067. (Note que só nos serve a resposta positiva.)

Logo, 1 + i = 1,067 ou i = 0,067 ou ainda i = 6,7%.

[Contato: macolins@gmail.com]