A Matemática e o dinheiro: os fatores de correção

A Matemática e o dinheiro: os fatores de correção

(Artigo organizado por Marcos Antônio Colins, professor de Matemática da Rede Estadual de Ensino do Maranhão)

O grande uso prático das progressões geométricas está nas sequências de taxa de variação constante. Isso ocorre em muitas situações que envolvem dinheiro, operações bancárias e comerciais. Para que você resolva a maioria dessas questões que, independentemente de estarem ou não nos concursos que realizamos – e estão – achamos fundamental enfocar com mais detalhes os fatores de correção e a matemática do dinheiro.

Muita gente acha que a “Matemática do dinheiro” serve só para pagarmos nossas contas, conferir trocos, coisas desse tipo. Mas não é somente isso, sabemos que o dinheiro, as transações bancárias ou comerciais, estão cada vez mais presentes na vida de todas as pessoas.

Se perguntarmos a uma pessoa qual o valor de 100 dólares, mais 100 marcos, mais 100 reais, ela provavelmente dirá que primeiramente precisamos converter todos esses valores para uma mesma moeda, antes de efetuarmos a soma. Analogamente, precisamos tomar cuidado com valores monetários no tempo. Será que 3 parcelas de 100 reais, pagas com intervalos de 30 dias, correspondem a um único pagamento de 300 reais, numa Economia com inflação?

Infelizmente, a maioria dos livros de Matemática ignora este fato, assim como ignoram também a inflação. Esse tipo de erro é encontrado tanto em textos para o Ensino Fundamental quanto para o Ensino Médio.

Todos devem concordar que, sem a Matemática, não conseguiríamos entender nossos contracheques, calcular nossos aumentos de salário, identificar os produtos que aumentaram demasiadamente de preço, constatar e criticar as propagandas enganosas, reivindicar nossos direitos trabalhistas...

Nossa abordagem inicial será através de um importante “segredo” da “Matemática do dinheiro” – os fatores de correção. Você irá constatar rapidamente que este conceito é a base de quase tudo o que se estuda na Matemática Comercial e Financeira e, com o auxílio de uma calculadora simples, você poderá entender e resolver uma grande quantidade de problemas que estão no nosso cotidiano.

Nossa abordagem será feita de forma contextualizada, através de pequenas histórias que servirão para nos apresentar e familiarizar com essa Matemática inserida nas transações financeiras e de comércio.

História 1: O salário de Maria era, em agosto de 2001, de R$ 320,00 e, após muita luta, recebeu um reajuste de 12% no mês de setembro de 2001. Qual o valor do salário que Maria passou a receber a partir de setembro?

Perguntamos a dois professores como resolveriam a questão acima proposta e, obtivemos as seguintes respostas:

Professora Ana: “12% são 12 centésimos, logo, divido 320 por 100 para achar um centésimo, depois.”

A solução da professora Ana está correta, uma boa solução. Vejamos sua solução completa: 320 ÷ 100 = 3,20. A seguir fazemos 3,20 × 12 = 38,40. Finalmente, 320 + 38,40 = 358,40.

Professor José: “12% são 12 centésimos ou 0,12; para saber quanto vale 0,12 de uma quantia, basta...”

A solução do professor José, que também é muito boa, está correta também. Vejamos sua solução completa: 0,12 × 320 = 38,40. Em seguida fazemos 320 + 38,40 = 358,40.

Verifique que os dois professores souberam aplicar seus conhecimentos para descobrir o novo salário de Maria. O professor José apresentou uma solução um pouco mais rápida, e ele conhece um fato importante que dá um significado da multiplicação: ele sabe que, ao multiplicarmos 0,12 por 320,00, o resultado significa quanto vale 0,12 da quantia 320,00, ou seja, quanto vale 12 centésimos de 320,00.

Gostaríamos que você acompanhasse conosco uma outra forma de resolver esse problema.

Em agosto, a professora Maria recebia 100% do seu salário, certo? Mas em setembro passou a receber 12% a mais desse valor. No total, você deve concordar que ela vai ficar com 112% desse salário!

Para achar 112% = 112/100 ou 1,12 de uma quantia, basta multiplicá-la por esse valor. Faça na sua máquina de calcular a multiplicação 1,12 × 320 e compare com as respostas encontradas pelos professores José e Ana.

Percebeu que obtivemos a mesma resposta?

“Refletindo sobre o assunto”

Alguns alunos ou professores, que resolvem essa questão como o professor José ou a professora Ana, podem achar melhor o modo como pensavam antes e continuar resolvendo os problemas da mesma maneira.

Mas quando relacionamos as coisas que já sabemos em Matemática podemos descobrir novos caminhos, e isso nos leva sempre a compreender mais essa ciência. Veja ainda uma vantagem, a última solução é bem mais rápida que as demais. Veja:

Salário de 320,00, após receber um aumento de 12% temos 1,12 × 320,00 = 358,40.

Em Matemática Financeira, dizemos que, nesse caso:

• A taxa de aumento percentual do salário foi de 12%;
• O fator de aumento (ou multiplicador) do salário foi de 1,12.

História 2: Durante uma liquidação, na loja “KOBRA KARO”, foi colocado um grande cartaz, anunciando descontos de 15% para todas as mercadorias. Quanto passará a custar uma calça jeans que, antes da promoção, custava R$58,40?

Poderíamos desenvolver uma solução mais extensa, como a que a professora Ana fez na História 1.

15% correspondem a 15 centésimos do preço da calça.

Um centésimo do preço da calça corresponde a 58,40 ÷ 100, que é igual a 0,584. Quinze centésimos corresponderão a 15 × 0,584, que é igual a 8,76. Dessa forma, o preço da calça na liquidação será: 58,40 – 8,76 = 49,64.

Que tal resolvermos da forma mais rápida, como também fizemos na história 1? Verifique o que vai ocorrer se multiplicarmos 58,40 × 0,85. Temos que 58,40 × 0,85 = 49,64.

Por que será que agora usamos o número 0,85 para gerar o desconto oferecido pela loja?

Veja que podemos usar um raciocínio parecido com o que fizemos na história 1, ou seja: Preço normal da calça = 100%. Desconto oferecido = 15%. Valor a ser cobrado na liquidação = 100% – 15% = 85%.

Como sabemos que 85% correspondem a 85 centésimos ou a 0,85, temos a conclusão que queríamos, encontrar o preço da calça com 15% de desconto, bastará multiplicar o preço normal de 58,40 por 0,85.

Nesse caso temos:

• Taxa percentual do desconto foi de 15%;
• O fator de redução (ou multiplicador) para 15% foi 0,85.

Os dois fatores (ou multiplicadores) que usamos – o de aumento na história 1 e o de redução na história 2, são denominados fatores de correção.

O leitor deve concordar que todo fator de aumento será um número maior do que 1 e todo fator de redução será um número menor do que 1. Por que será?

Exemplo 1: Se o jornal anunciar, num determinado mês, que a caderneta de poupança será corrigida pelo fator 1,025, ele estará nos informando que os investidores estarão recebendo que correção percentual sobre o saldo anterior?

Solução: Como o fator 1,025 corresponde à taxa percentual de 102,5%, verificamos que a correção das cadernetas de poupança foi de 2,5%.

Aumentos ou reduções sucessivos e as Progressões Geométricas

Você sabe que em nosso dia-a-dia é bastante comum encontrarmos situações de aumentos ou reduções sucessivos, como na caderneta de poupança, nas liquidações, nos reajustes de impostos ou mesmo de salários (menos comum, infelizmente). O que será que ocorre com os fatores de correção nesses casos?

Vejamos um exemplo:

Uma mercadoria sofreu dois reajustes consecutivos, de 3% e de 4%, respectivamente. Qual o aumento percentual correspondente a essas duas correções?

Poderíamos usar um recurso, bastante válido, de supor um preço inicial para essa mercadoria (normalmente usamos o valor de 100 reais, pois facilita nossos cálculos). Em seguida, aumentar esse preço em 3% e depois em mais 4% sobre a primeira correção.

Comparando o preço final com os 100 reais, teremos a variação percentual procurada.

Vejamos esse tipo de solução.

Preço inicial = 100 reais → primeira correção (3%) = 103 reais → segunda correção, 4% sobre 103 reais, ou seja, 0,04 × 103 = 4,12 reais, logo, o preço final será de 103 reais + 4,12 reais = 107,12 reais.

Se compararmos o preço final de 107,12 reais, com o preço inicial de 100 reais, temos que o aumento foi de 7,12 reais e, como esse acréscimo é sobre 100 reais, temos também que o aumento percentual foi de 7,12%.

Gostaríamos de alertá-lo novamente sobre a agilidade que você pode adquirir, usando para esse tipo de questões os fatores de correção, como já vimos anteriormente. Vejamos essa outra possível solução.

Vamos chamar o primeiro preço da mercadoria de P. Você já deve estar sabendo que, com um aumento de 3%, usando os fatores de correção, esse preço passará a ser de P × 1,03 (certo?). Com o segundo aumento de 4%, o preço passará a ser de P × 1,03 x 1,04 o que corresponde a P × 1,0712, já que a multiplicação é associativa. Isto vai significar que, independentemente do preço inicial ele está, após os dois aumentos sucessivos, sendo multiplicado pelo fator 1,0712, o que corresponde a uma variação percentual de 7,12%, a mesma resposta que achamos na primeira solução comentada.

Gostaríamos que você observasse esse importante fato nas transações comerciais e na Matemática Financeira. Aumentos sucessivos (muito comuns em países como o Brasil) geram um aumento acumulado que pode ser obtido através do PRODUTO dos fatores de aumento correspondentes às taxas desses aumentos.

Um raciocínio parecido com esse seria feito para o caso de reduções sucessivas de preços ou salários.

Reduções sucessivas podem ser também calculadas através do produto dos fatores de redução correspondentes às taxas dessas reduções.

Uma crítica que fazemos à maioria dos livros didáticos do Ensino Fundamental é que eles normalmente só abordam os chamados juros simples e, nesse caso, daria ao aluno a falsa impressão de que os dois aumentos desse exemplo gerariam um aumento total de 7%. Tal fato só estaria correto se os dois aumentos fossem sobre o valor inicial da mercadoria, ou seja, se eles não fossem acumulativos, ou sucessivos – o que caracteriza uma situação denominada juros compostos.

Exemplo 2: Qual a variação percentual acumulada, gerada por dois aumentos sucessivos de 30%?

Solução: Aplicando direto o conceito de fatores de correção, teremos: 1,3 × 1,3 = 1,69. Logo, houve um aumento acumulado de 69%.

Verifique que, se usássemos valores monetários, formando uma sequência, como se trata de taxa fixa de correção, teríamos uma situação muito particular e já conhecida nossa. Vejamos:

Supondo um valor inicial de 100 reais. Com um primeiro aumento de 30%, teremos um segundo valor de 100 × 1,3 = 130 reais. Com um segundo aumento de 30%, teremos um terceiro valor de 130 × 1,3 = 169 reais.

Logo, temos a sequência (100, 130, 169), que é uma progressão geométrica de razão igual a 1,3 (ou 1,30) o que corresponde a uma variação percentual fixa de 30% de aumento.

O Fato que verificamos acima irá sempre acontecer quando as taxas de variação forem constantes e aumentos ou reduções sucessivas. Teremos sempre a formação de progressões geométricas.

História 3: O remédio que o Sr. João toma diariamente, para pressão alta, custava R$ 40,00 no mês de abril de 2001 e passou a custar R$ 48,00. Qual foi o fator de correção e o aumento percentual correspondente?

Você já sabe que ao multiplicarmos o valor inicial pelo fator de correção teremos o valor final, no caso o preço do remédio com a correção. Isso também significa que, dividindo o valor final pelo valor inicial, obtém-se o fator de correção: valor final ÷ valor inicial = fator de correção.

No caso narrado na história 3, teremos que o fator de correção será igual a 48,00 ÷ 40,00 = 1,225.

Espero que, neste ponto de nosso texto, você já esteja sabendo que esse fator corresponde a uma variação percentual de 22,5% (aumento do remédio).

Caso não tenha ainda percebido o que aconteceu, vale a pena observar que: quando multiplicamos o valor inicial por 1,225 (fator de correção) é como se tivéssemos multiplicado por (1 + 0,225). Multiplicar por 1 reproduz o valor inicial e multiplicar por 0,225 (ou 22,5/100) dará o aumento havido que, em nosso caso, corresponde a 22,5%.

Verifique também o importante fato de que os números decimais podem ser transformados em percentagens por uma multiplicação por 100.

Veja:

0,225 = 22,5 % (0,225 × 100)

0,15 = 15% (0,15 × 100)

0,8 = 80% (0,8 × 100)

1,32 = 132% (1,32 × 100)

2,45 = 245% (2,45 × 100)

Podemos resumir o que ocorreu nessa história, quando temos o fator de aumento e queremos obter o percentual de aumento correspondente.

Dado um fator de aumento, devemos subtrair 1 dele, para conhecer o aumento havido.

Exemplos:

Fator de aumento	Aumento gerado	Percentual de aumento
1,45	1,45 – 1 = 0,45	45,00%
1,95	1,95 – 1 = 0,95	95,00%
1,07	1,07 – 1 = 0,07	7,00%
2,86	2,86 – 1 = 1,86	186,00%

História 4: Ritinha, que recebe um salário de R$ 340,00 por mês, verificou em seu contracheque que, após todos os descontos sofridos por ela em um determinado mês, recebeu apenas R$ 299,20. Você saberia determinar o percentual do desconto a que foi submetido o salário de Ritinha?

Você já verificou, na história 3, que existe um modo de obtermos o fator de correção do salário de Ritinha que, nesse caso, será um fator de redução.

Antes de continuar a leitura do comentário dessa história, verifique se você está sabendo como determinamos o fator de correção.

Nesse caso, o fator de redução será igual a 299,20 ÷ 340,00 = 0,88.

Qual o percentual de redução do salário de Ritinha, ao ter sido multiplicado por 0,88?

Se eu disser que é de 12%, você saberia o porque dessa minha resposta?

O fato é que o 0,88 obtido como fator de redução corresponde a uma taxa de 88%. Como o salário de Ritinha sem os descontos, corresponde a 100%, a redução sofrida será a diferença entre 100% e 88%, concorda?

Uma outra forma de entender essa resposta, e semelhante à que vimos no fator de aumento, é lembrar que 0,88 é igual a (1 – 0,12) e, se multiplicarmos o salário de Ritinha por esse fator teremos a multiplicação por 1, que recompõe o valor do salário, sem descontos, menos a multiplicação do salário por 0,12, o que representa os descontos ou seja, um percentual de 0,12 × 100 ou 12 %.

Dado um fator de redução, devemos subtraí-lo de 1 para conhecer a redução ou o desconto havido.

Exemplos:

Fator de aumento	Aumento gerado	Percentual de aumento
0,45	1 – 0,45 = 0,55	55,00%
0,95	1 – 0,95 = 0,05	5,00%
0,76	1 – 0,76 = 0,24	24,00%
0,86	1 – 0,86 = 0,14	14,00%

História 5: Esta historinha ocorreu (ou melhor, não chegou a ocorrer) na loja do Sr. Manoel há muitos anos atrás.

O Sr. Manoel pretendia usar uma estratégia para tentar movimentar sua loja – aumentaria o preço de tabela de todas as mercadorias em 20% e depois, anunciando uma grande liquidação, daria descontos de 20% para todos os artigos que vendia. Achava ele que, agindo dessa forma, venderia pelos mesmos preços de antes, com a vantagem de estar anunciando uma liquidação. Antes de continuar a leitura dessa história, qual a sua opinião sobre a estratégia que ele pretendia usar?

Quando ele começou a efetuar os cálculos para compor a tabela fictícia que usaria como referência, teve o susto de verificar que não ocorria como havia planejado e que seria obrigado a vender por um preço inferior ao que cobrava anteriormente. Chamou um professor de Matemática para perguntar o que estava ocorrendo, onde estava o erro de sua estratégia e, desistiu do artifício após a explicação.

Vejamos o que ocorreu...

Vamos supor que uma mercadoria custasse 100 reais, o Sr. Manoel, para compor a tabela, teria de colocar o preço de 120 reais e quando fosse na tal “liquidação”, teria que dar um desconto de 20% sobre os 120 reais, que corresponderia a um desconto de 24 reais. Logo, teria de vender a mercadoria por 120 – 24 = 96 reais, gerando para ele uma perda de 4%.

O fato é simples de ser entendido se você lembrar que o aumento inicial e o desconto posterior foram ambos de 20%, só que sobre valores diferentes. Enquanto o aumento foi sobre os 100 reais, o desconto teria de ocorrer sobre os 120 reais e, é óbvio que 20% sobre 120 é maior que 20% sobre 100.

Gostaria de lembrar que essa questão é também um caso de correções sucessivas (aumento, seguido de redução) e, como já vimos anteriormente, podemos usar mais uma vez os fatores de correção.

Aqui, 1,2 representa o fator de correção ou multiplicador para um acréscimo de 20%. E 0,80 (ou 0,8) representa o fator de correção para um desconto de 20%.

O produto 1,2 por 0,8 (aumento e redução sucessivos) gera um resultado 0,96, que é um fator de redução. Qual o percentual dessa redução (que para o Sr. Manoel seria uma perda)? Acertou se pensou em 4%. (Lembra que temos de calcular 1 – 0,96 = 0,04 ou 4%?).

História 6: Vamos apresentar agora uma história que, provavelmente, você já se deparou com algum fato semelhante em sua vida. Essas situações estão presentes no cotidiano de todas as pessoas.

Uma loja anuncia a venda de um aparelho de som, com duas possibilidades de pagamento. À vista por R$ 1 500,00 ou com uma entrada de 50% e uma segunda parcela de R$ 900,00, paga 30 dias depois. Quanto está pagando de juros a pessoa que escolher a segunda opção de pagamento?

Um aluno apresentou a seguinte solução:

• Preço à vista = R$ 1 500,00;
• Preço pago em duas parcelas = R$ 750,00 + R$ 900,00 = R$ 1 650,00;
• Valor pago a mais (juros) = R$ 1 650,00 – R$ 1 500,00 = R$ 150,00;
• Percentual pago como juros (taxa) = 150 ÷ 1500 = 0,10 = 10%.

Você concorda com essa solução? Em caso negativo, apresente uma outra e compare em seguida com o comentário apresentado.

Verifique que esta solução (que aparentemente não tem nada de errada) não está correta já que, quando o cliente paga a entrada de 50% (R$ 750,00), ele assume uma dívida de R$ 750,00 e é sobre esse valor que nossos cálculos devem ser efetuados (é o que denominamos de saldo devedor). Logo, os juros cobrados devem ser calculados verificando-se o aumento de R$ 750,00 para R$ 900,00.

Devemos determinar o percentual de juros comparando-se os R$ 150,00 cobrados a mais, com R$ 750,00, ou seja, 150 ÷ 750 = 0,20 ou 20%.

Se formos usar os fatores de correção, teremos que, neste caso, o fator de aumento corresponde a 900 ÷ 750 = 1,20.

O fator 1,20 corresponde a um acréscimo de 1,20 – 1 = 0,20 = 20%.

Verifique que é uma resposta bem diferente da que o aluno calculou e nós, por desconhecimento ou falta de atenção, muitas vezes somos levados a calcular erradamente os juros que estão inseridos nas compras que fazemos.

História 7: Vejamos agora um fato interessante e que você talvez se assuste com a sua conclusão.

Imaginemos um jogo no qual a pessoa, em cada rodada, se ganhar recebe metade do que possui na ocasião e se perder, perde metade do que tem no momento. Uma pessoa que entrou com R$ 128,00 fez 6 apostas consecutivas, ganhando 3 e perdendo 3 dessas apostas. O que podemos afirmar sobre esse apostador?

A) Que ele ganhou dinheiro;

B) Que ele não ganhou, nem perdeu dinheiro;

C) Que ele poderá ganhar, ou perder dinheiro, dependendo da ordem em que ocorrerem as 3 vitórias e as 3 derrotas;

D) Que ele perdeu 74 reais, independentemente da ordem em que ocorreram as vitórias e as derrotas.

Solução: Antes de mostrarmos a solução deste jogo, vamos tentar uma das hipóteses possíveis, para buscar alguma pista, ou descartar opções de resposta.

Vamos supor que o nosso jogador tivesse ganhado as três primeiras rodadas e perdido as três últimas.

A evolução de seu capital seria: 128 → 192 → 288 → 432 → 216 → 108 → 54. Note que o jogador perdeu dinheiro e, como entrou com 128 reais e saiu com 54 reais a sua perda foi de 128 – 54 = 74 reais. Com isso já podemos descartar as opções A e B, mas, será que se as vitórias e derrotas ocorressem em outra ordem o resultado seria o mesmo? Vamos supor agora que as vitorias e derrotas se alternassem. Vejamos o que ocorreria...

128 → 192 → 96 → 144 → 72 → 108 → 54. Percebemos que chegamos ao mesmo resultado, uma perda de 74 reais. Mas poderia ser uma coincidência...

Vamos usar novamente os nossos fatores de correção e tentar uma explicação convincente deste jogo.

Lembre-se que quando um valor aumenta em 50%, ele está sendo multiplicado por 1,5.

Lembre também que quando um valor reduz 50%, ele está sendo multiplicado por 0,5. O nosso valor inicial, 128 reais, estará sendo multiplicado três vezes por 1,5 e três vezes por 0,5. Como a ordem dos fatores não altera o produto, confirmamos que, independentemente da ordem das vitórias e derrotas, o resultado final será o mesmo. E qual será esse resultado?

128 × 1,5 × 1,5 × 1,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 = 54.

Conclusão desse surpreendente jogo. Ele perdeu 74 reais, independentemente da ordem em que se sucederam vitórias e derrotas. (opção D)

Podemos agora resumir os principais conceitos que aprendemos nas historinhas que apresentamos, com o objetivo de apresentar os fatores de correção:

Você reparou que:

• Todo fator de aumento é um número superior a 1?
• O fator de aumento pode ser obtido pela soma (100% + taxa de aumento percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de aumento para um acréscimo de 24% = 100% + 24% = 124% = 124/100 = 1,24.
• Todo fator de redução é um número inferior a 1?
• O fator de redução pode ser obtido pela subtração (100% – taxa de redução percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de redução para uma perda de 24% = 100% – 24% = 76% = 76/100 = 0,76.
• Aumentos ou reduções (ou mistura dos dois) consecutivos, devem ser calculados pelo produto dos fatores de correção, e não pela soma das taxas a eles correspondentes?

[Contato: macolins@gmail.com]