Equações e inequações com radicais

Equações e inequações com radicais

(Artigo organizado por Marcos Antônio Colins, professor de Matemática da Rede Estadual de Ensino do Maranhão)

Introdução

Muitos professores encontram dificuldades ao lidar com equações e inequações com radicais. Nosso objetivo aqui é o de chamar a atenção para a classe mais comum dessas equações e inequações, cujo tratamento repousa sobre certos pontos básicos que, quando levados em conta, evitam as dificuldades a que nos referimos.

Um primeiro equívoco

Certa vez um renomado professor de Matemática foi abordado por um colega de profissão, onde este queria entender o modo correto de resolver a seguinte equação: x² = 16. O mesmo perguntou então se estaria correto proceder assim: x² = 16 ⇔ ± x = ± 4, com quatro possibilidades de escolha de sinais: + x = ± 4 e – x = ± 4, resultando nas duas soluções x = ± 4.

Com um balançar de cabeça, o renomado professor deu a entender que não aprovava. O colega insistiu: mas, professor, não é verdade que √x² = ± x e √4² = ± 4?

Aí o professor foi bem explícito e disse: Não! não é bem assim.

De fato, às vezes escrevemos coisas como √16 = ± 4, mas isso não está certo. Trata-se de um “abuso de notação”. Não existem coisas que os linguistas chamam de “abuso de linguagem”, “licença poética” e “licença literária”? Pois os matemáticos também incorrem em “abusos de notação” e de “linguagem”. Não tem muita importância, pode até ser uma conveniência, mas é preciso ter consciência do que se está fazendo. Por exemplo, ao lidarmos com a função que leva x em √x dizemos e escrevemos corretamente assim: “seja a função x → √x, x ≥ 0”. É um abuso de notação dizer “seja a função y = √x”, pois, a rigor, essa última expressão é apenas um valor particular da função, aquele que ela assume no valor “x” da variável independente; além disso, nesse último modo de falar nem estamos especificando o domínio da função, deixando-o subentendido.

Voltando ao caso da raiz quadrada, escrever √16 = ± 4 é um abuso de notação porque o radical tem um significado único: sendo a um número positivo, √a significa sempre a raiz quadrada positiva, nunca a negativa (é claro que se poderia ter convencionado o contrário, isto é, √a significando a raiz negativa, não a positiva). Tanto é assim que, quando escrevemos a “fórmula de Bhaskara”, tomamos o cuidado de usar o duplo sinal de mais e menos na expressão ±√(b² – 4ac).

Como então resolver a equação proposta? Pelo que dissemos, √x² é o número positivo |x|, isto é, √x² = |x| (e nunca √x² = x, pois x pode ser negativo).

Analogamente, √16 = 4, de sorte que x² = 16 ⇔ |x| = 4 ⇔ x = ± 4 e pronto, é isso aí! Na prática, costumamos suprimir a parte do meio e simplesmente escrever: x² = 16 ⇔ x = ± 4.

Um outro exemplo

Vamos esclarecer melhor essas coisas, considerando a seguinte equação, um pouco mais complicada que a anterior:

√(4 – x) = x – 2 (1)

É claro que, ao escrever essa equação, já estamos supondo que 4 – x ≥ 0, isto é, que x ≤ 4. Para resolvê-la, elevamos ambos os membros ao quadrado, obtendo:

√(4 – x) = x – 2 → 4 – x = (x – 2)² ⇔ 4 – x = x² – 4x + 4 (2)

⇔ – x + 4x – x² = 0 ⇔ 3x – x² = 0 ⇔ x(3 – x) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3.

Dessas duas soluções, somente x = 3 resolve a equação inicial. Com o outro valor, x = 0, a equação inicial ficaria sendo √4 = –2, que está errado, pois √4 significa sempre +2.

Na verdade, o outro valor encontrado, x = 0, é a solução da outra equação, aquela que leva sinal negativo, ou seja:

–√(4 – x) = x – 2 (3)

Tanto essa equação, como a equação inicial, ao serem elevadas ao quadrado, implicam a mesma equação 4 – x = (x – 2)². Essa, sim, tem duas soluções: x = 0 e x = 3, uma que é solução de +√(4 – x) = x – 2 e outra que é solução de –√(4 – x) = x – 2.

Com esse exemplo fica bem clara a importância de se convencionar que o símbolo √a significa sempre a raiz quadrada positiva de a, qualquer que seja o número positivo a, pois é necessário que tal símbolo tenha significado único e preciso sempre. Do contrário, a equação (1) não seria uma equação só, mas conteria também a equação (3), ou seja, estaríamos lidando com ±√(4 – x) = x – 2.

Temos duas equações, as quais, juntas, equivalem à segunda equação que aparece em (2), isto é, ±√(4 – x) = x – 2 ⇔ 4 – x = (x – 2)².

Observe que a primeira implicação em (2) é apenas da esquerda para a direita, não valendo a volta.

No fundo, o que estamos usando em nosso procedimento é a seguinte propriedade dos números:

Se a e b são números não negativos, então a² = b² ⇔ a = b.

Como se vê, precisamos ter certeza de que os números a e b sejam não-negativos. Se não tivermos essa informação, só podemos escrever a = b → a² = b² (e nunca a² = b² → a = b).

Em nosso caso concreto, a = √(4 – x) e b = x – 2.

Podemos também escrever:

Se a e b são números quaisquer, então a² = b² ⇔ |a|=|b|.

ou, ainda,

a² = b² ⇔ a = ± b.

Observe que a = ± b é outro modo de dizer que a e b têm o mesmo valor absoluto, isto é, que |a|=|b|. Assim, com a = √(4 – x) e b = x – 2, podemos escrever:

(√(4 – x))² = (x – 2)² ⇔ |√(4 – x)|=|x – 2|,

ou ainda, de maneira equivalente,

(√(4 – x))² = (x – 2)² ⇔ ±√(4 – x)=x – 2.

Para dar mais um exemplo de que o símbolo √a deve significar apenas uma das raízes de a, considere a equação:

√(1 – x) + 2 = √(1 + 3x).

E agora, a primeira raiz quadrada que aí aparece é positiva? Negativa? E a segunda? É justamente para evitar tais ambiguidades que convencionamos, de uma vez por todas, que o símbolo √a significa sempre a raiz quadrada não-negativa de a.

Inequações e valor absoluto

Como se faz para resolver a inequação x² < 9? Será correto simplesmente extrair a raiz quadrada e escrever x < 3? Não, isso é errado, pois x = –4 é menor que 3, no entanto (–4)² = 16 é maior do que 9.

Lembremos que x² é o mesmo que |x|², de forma que o correto é

x² < 9 ⇔ |x|² < 9 ⇔|x| < 3 ⇔ –3 < x < 3.

Assim, a solução da inequação x² < 9 é o conjunto dos números do intervalo (–3, 3).

O que usamos na resolução da inequação acima foi a seguinte propriedade dos números:

Se a e b são números não-negativos, então a² > b² ⇔ a > b.

Outro exemplo: x² > 25.

Temos, agora,

x² > 25 ⇔ |x|² > 25 ⇔ |x|> 5.

As soluções são os números tais que |x|> 5. Ora, isso acontece com x > 5 ou x < –5.

[Contato: macolins@gmail.com]