A atualização do ensino da Matemática

A atualização do ensino da Matemática

(Artigo organizado por Marcos Antônio Colins, professor de Matemática da Rede Estadual de Ensino do Maranhão)

Introdução

Há uma mudança continuada que se processa tanto nas condições da sociedade quanto na própria Matemática. É bem verdade que a validez das teorias matemáticas é perene e subsiste através dos séculos. Porém, a posição dessas teorias e das técnicas a elas associadas varia bastante em termos de importância, alcance e eficácia em face dos novos desenvolvimentos, das novas descobertas e da ocorrência de áreas recentes de aplicação, dentro e fora da Matemática. Tais mudanças devem necessariamente refletir-se no ensino, a fim de que este cumpra sua missão primordial de preparar os jovens para a vida moderna.

As várias faces da Matemática

Para conscientizar-se da relevância do seu trabalho e, consequentemente, executá-lo com entusiasmo, é bom que o professor tenha, e procure transmitir a seus alunos, uma noção do que significa a matéria que está ensinando.

A Matemática tem sido comparada a um jogo, como o xadrez, no qual, mediante a utilização de regras fixas, parte-se de uma posição inicial para chegar a conclusões bem determinadas. Isto, porém, é uma visão muito parcial e, no máximo, pode ser considerado como uma metáfora para exemplificar o método dedutivo. Na verdade, a Matemática é muito mais que esse método. Usa-o como um poderoso auxiliar, porém, seu âmbito é mais extenso, suas ambições são mais variadas e elevadas, suas vitórias e conquistas bem mais profundas e significativas para a humanidade.

Seria conveniente que os professores de Matemática, nas escolas de todos os níveis, transmitissem aos seus alunos que o ensino dessa matéria é uma das formas de preparar a nação para o futuro.

E, a fim de torná-la mais atraente, a organização desse ensino deveria tirar partido da extraordinária vantagem trazida pelo fato de que a Matemática tem muitas faces:

• Ela é como uma arte, onde o enlace das proposições, as conexões entre suas diversas teorias, a elegância e a limpidez dos seus raciocínios, a singela eloquência dos seus enunciados e a surpresa de algumas de suas conclusões enlevam o espírito e comprazem nosso senso estético.
• Ela é também um eficaz instrumento, às vezes simples em suas aplicações cotidianas, às vezes sutil e complexo quando empregado na solução de problemas tecnológicos ou na formulação de teorias científicas, pois dispõe de um inesgotável repertório de modelos abstratos que podem ser usados nas mais diversas situações concretas.
• Ela é uma linguagem precisa e geral, tão bem sucedida que o fato de poder exprimir princípios científicos por meio dela é uma prova do estado avançado dessa ciência.
• A Matemática é ainda um grande desafio, tanto do ponto de vista lúdico, que a tornou popular desde tempos imemoriais com seus problemas folclóricos, como na disputa eterna entre o matemático e a verdade oculta sob várias formas.

A atualização do ensino da Matemática

A análise conjuntural com vistas a adequar o ensino da Matemática ao momento presente nos leva inevitavelmente a considerar os anseios dos grupos a quem tal ensino é dirigido, as aspirações da sociedade onde o processo educativo tem lugar, bem como as restrições e obstáculos para a execução de projetos teoricamente ideais. Entre essas restrições encontram-se naturalmente as de ordem econômica, mas há outras, de natureza bem diversa, como a lentidão inevitável dos programas de retreinamento de professores, além do natural apego a certas tradições, mesmo de natureza intelectual.

Os professores do ensino básico, quer por formação quer por hábito, acham-se envolvidos numa rotina de trabalho onde os assuntos abordados são aqueles em que se sentem seguros de tratar e os exercícios propostos são quase sempre aqueles mesmos que eles já sabem resolver, mesmo porque a necessidade de complementar seus parcos salários com trabalho adicional não lhes permite muito tempo para estudar.

Se um grupo de matemáticos, cientistas e tecnólogos que usam Matemática propõe um novo currículo, o êxito da proposta vai depender de sua execução pelos professores que atuam no momento. Evidentemente, isto requer atualização desses professores.

Mas, ao contrário da indústria, do comércio e atividades similares, a readaptação do professor não pode ser feita simplesmente por meio de um manual de instruções. Mesmo em países desenvolvidos, essas mudanças de hábitos para professores levam tempo e nem sempre podem ser levadas a cabo. Muitas vezes nem devem ser feitas da maneira como foram concebidas teoricamente.

A seguir, ilustraremos este ponto com alguns exemplos.

Três exemplos recentes

1. Matemática Moderna

É do conhecimento geral a onda que se iniciou na década de 60, chamada Matemática Moderna. Motivada pelo justificado desejo de adaptar o ensino da Matemática aos padrões utilizados pelos matemáticos do século 20 (ou pelo menos por um grande número deles), foi proposta uma reformulação radical dos currículos, com ênfase nos métodos abstratos e gerais.

As consequências desse movimento em nosso país foram desastrosas, em que pese o fato de que algumas das práticas propostas eram realmente aconselháveis. Acontece que, tradicionalmente, desde nossos dias de colônia, estamos acostumados a seguir a moda que nos ditam os países mais desenvolvidos. E, em geral, imitamos o que é fácil, superficial e frívolo. Nossa imitação da Matemática Moderna resultou em abandono da Geometria e dos cálculos numéricos, substituídos por exageros conjuntivistas e um pseudo-formalismo vazio e desligado da realidade.

Hoje todos reconhecem esses erros, mas não é fácil mudar a mentalidade dos professores habituados a esse tipo de atitude, nem provê-los do conhecimento necessário para que possam orientar suas aulas num sentido mais objetivo e condizente com a importância da Matemática na vida moderna.

2. Japão e computadores

O Japão é um dos países do mundo onde o número de computadores por habitante é o mais alto. Entretanto, apesar dos esforços das autoridades, a utilização de computadores no ensino da Matemática nas escolas japonesas teve que enfrentar resistência e demora, pois a maioria dos professores não estava preparada e relutava em preparar-se para mudar seus métodos tradicionais de ensino.

Essa demora, afinal de contas, resultou benéfica, pois hoje os japoneses parecem convencidos de que o uso de computadores no ensino da Matemática e de suas aplicações é muito mais eficiente para alunos a partir de 15 ou 16 anos, em cujos currículos tal uso realmente se justifica. Nos anos iniciais da escola é mais importante fortalecer os hábitos de auto-disciplina, trabalho, organização, esforço e imaginação, o que se faz melhor sem o uso de computadores e sem os problemas logísticos ligados à sua utilização pelos professores.

Este exemplo serve como advertência aos dirigentes de nosso país, os quais, na ânsia de uma modernidade ilusória e em busca de uma publicidade fácil, colocam a aquisição de máquinas acima do aperfeiçoamento, da melhoria das condições de trabalho e da remuneração adequada dos professores.

3. Geometria na União Soviética

De 1893 até o final da década de 60, o ensino da Geometria na Rússia, depois União Soviética, foi decisivamente influenciado pelo livro “Geometria Elementar”, de A. P. Kisselev (1852-1940), que em mais de 50 edições sofreu melhoramentos e adaptações visando aperfeiçoar suas reconhecidas qualidades didáticas e sólida concepção, nas quais se baseou a formação de muitas gerações de cientistas, tecnólogos e matemáticos daquele país.

Entretanto, o grande desenvolvimento da ciência e da tecnologia ocorrido no meado deste século levou a União Soviética a realizar uma profunda reforma no ensino da Matemática, atualizando material obsoleto e introduzindo novos conhecimentos compatíveis com as exigências da época.

O novo curso de Geometria foi elaborado segundo duas tendências distintas. Uma delas foi liderada pelo extraordinário matemático A. N. Kolmogorov, que comandou uma equipe para redigir os textos de Geometria baseados nos grupos de transformações geométricas. A outra tendência foi a do eminente geômetra A. V. Pogorelov, que adotou os princípios metodológicos de Kisselev, dando-lhes melhor consistência lógica, simplificando a apresentação, provendo-a de mais objetividade, modernizando o estilo e tirando proveito de progressos matemáticos obtidos em épocas recentes.

Apesar do grande entusiasmo inicial provocado entre os professores pelas novas ideias de Kolmogorov e seus colaboradores, pouco a pouco se foi constatando que o uso sistemático de transformações geométricas como enfoque básico exige um nível de abstração que está acima da maturidade de compreensão dos alunos em geral, embora se reconheça que o emprego ocasional dessas transformações contribuiu para enriquecer o conhecimento geométrico e simplificar algumas demonstrações. Um longo período de aperfeiçoamento do texto e anos de trabalho com ele nas escolas não lograram melhorar a qualidade do ensino como se esperava.

A partir de 1982-83, o texto estruturado por Pogorelov foi adotado como guia principal em Geometria para todas as escolas da União Soviética.

O que os exemplos nos ensinam

Há algumas lições que se podem tirar desses exemplos.

O primeiro deles nos faz lembrar que a Matemática é muito mais do que um encadeamento lógico de proposições referentes a conceitos abstratos, a partir das quais se pode chegar a conclusões de rara beleza e vasto alcance. Não apenas por isso que ela é universalmente ensinada.

Nem tampouco é verdade que a aprendizagem se faz sob a forma de silogismos, do geral para o particular. O lado prático, algorítmico e utilitário de certos tópicos da Matemática Elementar não pode ser menosprezado.

Por outro lado, é errado pensar que tudo que veio com a onda da Matemática Moderna deve ser posto de lado. Algumas de suas coisas boas foram: o uso da linguagem de conjuntos, que facilita, dá precisão e assegura generalidade à expressão das ideias matemáticas (desde que usada com moderação) e a ênfase na conceituação adequada dos objetos matemáticos. Paradoxalmente, a conceituação precisa é indispensável nas aplicações: numa situação concreta em que se estuda um fenômeno, este nunca vem acompanhado de uma fórmula matemática. Para saber se uma determinada noção se exprime como uma integral, uma derivada, uma transformação linear ou uma função exponencial, é necessário ter bem estabelecidos o significado e a definição desses conceitos matemáticos.

O segundo exemplo é, em si, uma lição. Um renomado político brasileiro, conhecido por suas realizações no campo educativo, disse certa vez que nosso país ingressaria rapidamente no primeiro mundo, daria o passo decisivo para o terceiro milênio no memento em que contássemos com computadores Macintosh em cada sala de aula.

Nenhum de nós e suficientemente tolo para ignorar a enorme importância dos computadores na vida de hoje. Isto se vê todos os dias, ao verificarmos o saldo de nossa conta bancária ou nos comunicarmos via correio eletrônico, isto para mencionar apenas exemplos corriqueiros, que poderíamos estender a milhares de outros casos.

Muito menos negaríamos a influência positiva dos computadores na Ciência e na Tecnologia atuais. Ela é tão grande que se costuma dizer que vivemos na era da Informática.

No que diz respeito à Matemática, a importância do computador também é imensa, mas é necessário ter em conta bem nitidamente seus limites. Ela é, naturalmente, bem maior em Matemática Aplicada, onde permite efetuar com enorme rapidez cálculos que seriam impensáveis concluir sem o uso da máquina. Essa eficácia, por sua vez, trouxe um feedback bem vindo, sob a forma de problemas que suscitaram o aparecimento de teorias matemáticas importantes, como a Complexidade Computacional, e da revitalização de certas áreas tradicionais, como a Teoria das Matrizes, por exemplo.

Na Matemática em geral (sem adjetivos) o computador contribuiu para divulgar e expandir o uso do método experimental, que consiste em constatar, mediante verificações numéricas ou gráficas, a validez de uma conjectura numa grande quantidade de casos particulares, a fim de adquirir a certeza moral de sua verdade. Cabe observar, de passagem, que esse tipo de utilização do computador tem caráter meramente preliminar. A verificação de milhões de casos particulares de um teorema não significa necessariamente que esse teorema seja verdadeiro.

Quanto ao uso do computador no ensino da Matemática, devemos primeiro levar em conta nossa realidade sócio-econômica. Caso fosse verdade que a existência de computadores em cada sala de aula constituísse uma solução definitiva para os problemas da aprendizagem e nos desse o passaporte para o desenvolvimento e a modernidade, caso isso fosse um fato indiscutível, acima de qualquer dúvida, ainda assim teríamos grandes problemas para implementar tal solução, como por exemplo os custos de aquisição, instalação e manutenção, a elaboração de programas (software), o treinamento dos professores, as medidas de segurança para evitar que os equipamentos fossem roubados, além da chocante discrepância cultural entre um sonhado ambiente high tec na escola e o nível de vida, não apenas dos alunos como dos mal-pagos professores.

Felizmente o exemplo japonês vem mostrar o que alguns de nós já sabíamos, mas a mania de solução mágica não deixava que alguns aceitassem: o computador não é um remédio milagroso. A formação matemática dos jovens deve dar prioridade ao seu desenvolvimento mental. A máquina deve ser colocada em seu devido lugar e ser usada quando for necessária, não como um substituto para o cérebro, nem como uma novidade modernosa, que desperta curiosidade e interesse fugazes, mas cujo uso nas escolas, em diversos países onde tem sido experimentada, não teve até agora um êxito compensatório.

Finalmente, o exemplo soviético nos mostra que nem sempre o caminho nitidamente melhor para o matemático (ou mesmo o cientista) é melhor para o professor e para o aluno. Que a formação continuada dos professores é uma tarefa inadiável e permanente. Que ela deve ser feita com a participação de matemáticos e cientistas que usam a Matemática, conjuntamente com professores experientes, todos dispostos a acompanhar os resultados e abertos para levar a efeito as mudanças de rumo que a experiência recomendar.

Quando o grande matemático alemão David Hilbert, na virada deste século, estruturou em bases lógicas inatacáveis os fundamentos da Geometria de Euclides, tudo leva a crer que boa parte de sua motivação foi de natureza metodológica, determinada pelo desejo de oferecer às novas gerações uma apresentação da Geometria que fosse livre de lacunas no encadeamento lógico de suas proposições atingindo assim, efetivamente, o ideal de perfeição perseguido por Euclides. E, de fato, vários compêndios escolares chegaram a ser organizados nos moldes da axiomática de Hilbert.

Cedo, porém, se constatou que, a fim de colocar em bases lógicas corretas certas noções intuitivas como a ordem dos pontos numa reta, ou sua continuidade, é necessário passar por uma sequência de proposições de natureza técnica que pouco têm de geométricas, que contêm enunciados completamente óbvios do ponto de vista intuitivo, porém, que necessitam demonstrações, às vezes muito sutis, pois não estavam explicitamente admitidos entre os axiomas adotados.

Desenvolver essa tarefa enfadonha até atingir um ponto onde estão permitidos os raciocínios e as construções geométricas tradicionais da Geometria Euclidiana pode ser um trabalho logicamente necessário, mas é didaticamente desastroso.

Hoje em dia prevalece o ponto de vista de que, para apresentar a Geometria sob a forma sintética (isto é, sem coordenadas) deve-se usar o método da axiomatização local, onde se admitem sem demonstrações alguns fatos básicos, intuitivamente plausíveis, muitos dos quais poderiam perfeitamente ter o status de teoremas. A partir deles se desenvolvem temas geométricos (como áreas, volumes, semelhança, etc) de forma consideravelmente rigorosa.

A dificuldade e a importância de ensinar Matemática

Afirmamos no início que a evolução da sociedade e o desenvolvimento da própria Matemática impõem, conjuntamente, a necessidade de reciclar os professores que atuam nas escolas, buscando adaptar o ensino às condições atuais, a fim de melhor preparar os jovens para as tarefas que deverão efetuar na vida adulta. Em seguida, discutimos alguns tópicos desse trabalho de reciclagem sob um ponto de vista global, que qualificamos de social ou humano. Diremos agora algumas palavras mais específicas sob o ponto de vista profissional do professor de Matemática.

Sempre houve dificuldades para ensinar Matemática. O conhecido diálogo de Sócrates para exemplificar seu método de ensino trata de um tópico de Geometria. A expressão “pons asinorum” (ponte dos burros), que durante séculos serviu para designar certos teoremas de Geometria, indica que, dentre os poucos jovens na Idade Média que se aventuravam a estudar essa matéria, somente alguns eram capazes de assimilá-la. A crença, que perdurou até o começo do século, de que existia no cérebro humano uma “bossa da Matemática”, cujo maior ou menor desenvolvimento em cada pessoa era o fator determinante do seu êxito ou fracasso na aprendizagem da Matemática, é também uma indicação de que nunca foi tarefa banal ensinar esta matéria.

Entretanto, ao lado da constatação de sua dificuldade, sempre se reconheceu, em todas as épocas, a importância e mesmo a necessidade da Matemática, tanto como parte da cultura individual como por sua indispensabilidade para entender o mundo, para prever e, se possível, controlar os fenômenos.

Esse reconhecimento se evidencia desde a inscrição no pórtico da Academia de Platão (“Que ninguém ignorante de Geometria entre aqui”.) ou na organização das Sete Artes Liberais, nas quais se baseava o ensino desde a Idade Média. Como se sabe, as sete artes liberais eram divididas em dois grupos: trivium e o quadrivium.

O trivium, de onde se originou a palavra trivial (que os matemáticos adoram usar) continha as Artes Literárias: Gramática, Retórica e Dialética. O quadrivium, em nível mais elevado, era formado pelas Artes Matemáticas: Aritmética, Geometria, Astronomia e Música.

Através dos tempos ocorreram mudanças radicais na organização do ensino. Muitas disciplinas desapareceram ou perderam importância. Mas a Matemática, com todas as dificuldades ligadas à sua aprendizagem, perdurou como elemento fundamental da estrutura do ensino.

A formação do professor

Ocorre, porém, que o elemento crucial para a transmissão do conhecimento matemático, que é o professor, não está recebendo uma formação adequada para exercer sua importante tarefa.

Basicamente, o problema mais grave no treinamento do futuro professor é o seguinte: quando o jovem entra na faculdade, não teve uma boa formação na escola, logo não conhece bem a Matemática que vai ensinar. Por sua vez, as aulas que tem na faculdade tratam de Cálculo, Variáveis Complexas, Equações Diferenciais e outros assuntos que ele bravamente, com grande esforço, tenta assimilar em dose mínima para ser aprovado no exame. No final de tudo, recebe seu diploma sem ter domínio das coisas que vai ensinar aos seus alunos, como decimais infinitas, as proposições básicas da Geometria no Espaço, Divisibilidade, Análise Combinatória etc.

A fim de preparar suas aulas, o professor iniciante vai depender dos livros-texto, dos quais há dois tipos: aqueles escritos por professores como ele, que não aprenderam bem as coisas que estão ensinando e outros, escritos por bem-intencionados professores universitários, que não sabem usar a linguagem acessível aos alunos nem conseguem dosar o grau de abstração e generalidade aceitáveis ao público-alvo.

Tal situação não é peculiar aos países subdesenvolvidos. O grande educador matemático George Pólya já escreveu que, na Universidade, o futuro professor recebe uma ração de sopa rala, sem carne alguma, no Departamento de Educação e um bife duro, que não consegue mastigar, no Departamento de Matemática.

Outro exemplo: a Professora Rosseta Morantz Cohen, do Departamento de Educação da Universidade Harvard, escreveu recentemente um livro intitulado “A Lifetime of Teaching”, no qual ela conta a vida e, principalmente, o trabalho de cinco extraordinários professores de escolas americanas, selecionados criteriosamente a partir do êxito que tiveram em suas carreiras.

O capítulo final daquele livro se intitula “O caso contra a formação dos professores nas faculdades”. Ali, com grande honestidade, a autora confessa que uma das conclusões mais desanimadoras do seu estudo foi a avaliação que cada um dos seus cinco entrevistados fez de seu próprio treinamento para ensinar.

Todos cinco trouxeram o assunto espontaneamente e falaram dele com grande paixão, o que surpreendeu a autora, considerando o grande número de anos passados desde que aquelas pessoas estiveram na faculdade. Em todos os casos, os cursos de formação de professores foram considerados como “sem atrativos, monótonos, inúteis, de baixo nível intelectual”.

Um dos seus personagens disse que alguns dos cursos sobre Educação até que continham certas coisas interessantes. Mas eram muito poucas. A maioria era uma coleção de fatos absolutamente óbvios, uma verdadeira lista de banalidades.

Evidentemente, apesar de todas essas deficiências, há algumas notáveis pessoas que por seu esforço, sua persistência, seu talento e sua grande vocação conseguem superar os obstáculos e se tornarem grandes professores. Mas é bem maior, e muito grande, o número daqueles que necessitam de reciclagem para melhorar seus conhecimentos e desempenhar com mais eficiência a importante tarefa de formar nossos jovens.

[Contato: macolins@gmail.com]