A
Matemática na escola
(Alguns
problemas e suas causas)
(Artigo
organizado por Marcos Antônio Colins, professor de Matemática da
Rede Estadual de Ensino do Maranhão)
O ensino da
Matemática em todos os níveis apresenta-se como um problema
insolúvel. Tem causas e manifestações distintas em países com
diferentes graus de desenvolvimento econômico e cultural. Algumas
têm componentes que são próprios dos países com menor
desenvolvimento industrial ou menor independência agronômica ou com
economias muito dependentes dos investimentos, das flutuações de
mercado ou de políticas externas.
Poder-se-ia
resumir a explicação do porquê de a disciplina ser motivo de
tantas preocupações para alunos, professores e pais, nos seguintes
três aspectos:
O
subdesenvolvimento
Em nações onde a
aplicação criativa do conhecimento para o desenvolvimento de novas
tecnologias não constitui parte da mentalidade dominante, é difícil
aumentar o prestígio e o reconhecimento das ciências básicas,
necessárias para tais desenvolvimentos. Nesses países, os que
marcam explícita ou implicitamente os rumos da evolução econômica,
dos investimentos, da ocupação de mão-de-obra têm por orientação
central a importação de maquinária ou técnicas e a sua adaptação
ao terreno ou produção primária do lugar. Portanto, dificilmente
eles promovem uma cultura na qual a criação de conhecimento
autóctone, sustentado no conhecimento básico, ocupe um lugar
destacado no desenvolvimento global.
Isso não
significa que seu discurso, suas arengas etc. não sejam carregados
de alentos à promoção das ciências e seu caráter nacional. Mas
me refiro a aspectos mais substanciais, mais estruturais da sociedade
e não somente ao que governantes ou líderes empresariais possam
escrever ou dizer. De um modo mais claro e esquemático: em uma
economia que não está baseada na criação de técnicas próprias
para resolver os seus problemas, não há promoção do conhecimento
científico e menos ainda da ciência mais abstrata, a de menor
conteúdo factual: a Matemática.
Como exemplo da
importância do conhecimento básico para a criação de ciências e
técnicas a fim de atender às necessidades autóctones (nacionais,
diríamos agora), seria útil citar o que sucedeu na América
Pré-Hispânica. O melhoramento do milho, a decisão de quando
plantar, a introdução da roça como procedimento para ganhar novos
terrenos cultiváveis, são invenções próprias que respondiam à
geografia e aos meios disponíveis: foi criação autóctone de
tecnologia. Esses progressos foram simultâneos com a criação de
sistemas de contagem do tempo (calendário, saber astronômico), com
a invenção de sistemas de numeração e de formas de linguagem
escrita. Tudo isso é conhecimento básico, sem o qual aquelas
necessidades agrícolas não poderiam ter sido satisfeitas. A
invenção de tecnologia própria — incluindo a adaptação de
técnicas conhecidas aos problemas, materiais, tradições do lugar —
é impossível se não foram desenvolvidas vigorosamente as ciências
básicas de tais tecnologias: Biologia, Física, Química, Matemática
e os procedimentos que se situam entre essas ciências e suas
aplicações.
A Matemática
é difícil
O objetivo da
Matemática é um tanto imperceptível. A abstração das
propriedades quantitativas ou geométricas que caracterizam as
primeiras noções estudadas nos cursos de Matemática constituem um
processo de complicada assimilação. Pequenos erros nesse processo
tornam muito difícil a assimilação de novos conceitos e
procedimentos, gerando grandes traumas futuros. Por outro lado, a
memorização de uma nomenclatura diferente e muito precisa introduz
componentes que não são usuais na vida diária.
Por sua vez, tais
formas de pensar, de poder “desmaterializar” os objetos, são
parte de nossa relação com a natureza, o que nos diferencia dos
animais. A compreensão de propriedades globais dos objetos que nos
são apresentados não se faz por mera acumulação. Faz-se por
reordenação, por associação de semelhanças, que são parte
fundamental do conhecimento matemático. A aceitação e compreensão
das dificuldades da Matemática e, por sua vez, da necessidade de sua
aplicação são básicas para poder analisar o problema do ensino da
Matemática em nível alto e com competência.
O ensino da
Matemática é problemático
O grave problema
do ensino da Matemática não é exclusividade dessa disciplina.
Atualmente admite-se que todo o sistema educacional está em crise.
Que a velocidade das mudanças nos grandes e pequenos processos
introduziu imensas dificuldades na sistematização do conhecimento
e, portanto, em sua divulgação e ensino. Sem ser muito rigoroso,
pode-se dizer que a interação aluno-docente que caracteriza o
aprendizado dá-se sobre a base do estado atual do conhecimento e
está fortemente influenciada pelos interesses de ambas as partes. O
docente, a parte conservadora dessa relação, a que representa o
social, o adquirido, o que deve ser conservado (nesse sentido usei a
expressão “conservadora”), tem grandes dificuldades para
manter-se em dia com os conhecimentos. O estudante é sacudido por
elementos alheios ao ensino formal: os meios de comunicação, a
cultura de consumo, em alguns casos; o atraso cultural, a destruição
da família, a pobreza endêmica, em outros; pior ainda, tudo
misturado, muitas vezes. Para cumprir adequadamente sua função, o
docente deveria saber como esses aspectos refletem-se no estudante,
coisa que, na atualidade, em geral não acontece. A defasagem entre o
que o docente tem para transmitir e o que o estudante espera receber
gera um desinteresse que interfere de maneira fundamental no
aprendizado.
As questões
analisadas nos dois primeiros aspectos (acima) produzem efeitos
característicos nas crises do ensino de Matemática. Há um processo
de descrença da importância do conhecimento abstrato, beneficiado
pelas questões econômicas e sociais a que nos referimos no começo
e também pela cultura do lucro imediato, do “o que é bom é o que
se pode consumir”. Tudo isso gera uma espécie de despreocupação
e, em muitos casos, uma desnaturalização do conhecimento
matemático. Com isso quero dizer que a excessiva ênfase nas
motivações, em tornar atrativo o objeto do estudo, leva a um
descuido do ensino da Matemática em si, das estruturas gerais e suas
relações.
Por outro lado,
as dificuldades da disciplina também se manifestam em frequentes
mudanças de programas, métodos pedagógicos e ênfases temáticas
que dificultam a formação dos seus docentes. Esses não conseguem
ajustar sua formação e atualização às mudanças da disciplina e
às incrementadas (tanto em número quanto em qualidade) solicitações
sociais. Nos últimos 30 anos, por exemplo, houve, de início, uma
mudança acentuada para um ensino muito formalizado (que se decidiu
chamar Matemática Moderna) e logo um forte questionamento de tais
orientações. Isso causou, inclusive, rancores difíceis de superar
entre adeptos de umas ou outras posições.
Tudo isso faz com
que a Matemática seja mal ensinada em sua forma e conteúdo, o que
constitui uma grave falha social. Do exposto acima fica claro que não
sou dos que acham que tudo está nas mãos daqueles a quem ensinamos
Matemática; também não creio que somente com um grande esforço
pedagógico os problemas do aprendizado da Matemática possam ser
solucionados. Porém, a percepção de nossas limitações não nos
exime da obrigação de pensar, opinar, dar soluções a problemas
tão angustiantes e de indubitável impacto cultural.
No restante deste
artigo apresentaremos, através de blocos temáticos, alguns dos
problemas de aprendizagem da Matemática em crianças que estão
finalizando o “ensino primário” (atualmente, Fundamental Menor)
no Brasil.
- Prestígio do saber matemático e os temores que gera
O bom desempenho
em Matemática é considerado, em geral, como uma mostra de sabedoria
e inteligência. Consideram-se as pessoas que têm facilidade para
Matemática como gente especial, com algum dom extraordinário: o
saber matemático goza de prestígio. Isso se deve, por um lado, ao
fato de que as dificuldades da disciplina fazem com que quem a sabe
ou a aprende com facilidade seja visto como diferente, especialmente
dotado; por outro lado, os jovens com particular facilidade para a
Matemática, em geral, têm também facilidade para formar conceitos
em outras disciplinas, para continuar a concatenação lógica de
raciocínios, até para encontrar semelhanças em Geografia, Física,
...
Esse “prestígio”,
por sua vez, gera em quem tem dificuldades uma aversão muito forte à
Matemática. Sentem-se aparvalhados, passam a ignorar a beleza, a
coerência e a ordenação da disciplina e a recusar qualquer tipo de
formalização, por sua semelhança com a formalização matemática.
É bastante comum que os estudantes com dificuldades sejam mais
retraídos, sintam que não poderão ocupar papéis importantes em
suas atividades ou obter ocupações de destaque e modernas.
Consideram-se humilhados perante seus professores de Matemática e,
mais adiante, muitos deles serão incapazes de ter uma base mínima
para incorporar conhecimentos matemáticos ou meramente
quantitativos, que lhes permitam avançar normalmente nos seus
estudos.
- Memória com detalhes
O conhecimento
matemático inclui a memorização sistemática e classificada de uma
quantidade muito grande de dados, de informação que deverá ser
utilizada automaticamente: as tabuadas da multiplicação, os valores
de algumas funções (trigonométricas, por exemplo), o significado e
valores de muitos símbolos (π, por exemplo), equivalência entre
diferentes unidades de medida, valores de raízes quadradas, fórmulas
de comprimentos, áreas, volumes. Essa informação deve ser
“guardada” com precisão, com detalhes: 3 vezes 8 não é “quase”
25, é 24; símbolos muito parecidos são distintos se cumprem
funções diferentes; a vírgula dos números decimais deve ser
colocada em um lugar exato, se desejamos representar um número dado
etc.
Tornar operativa,
com velocidade, essa massa de informação é parte do conhecimento
matemático. Quem tiver dificuldades para recordar algumas dessas
informações elementares, dificilmente poderá acompanhar
raciocínios mais complicados ou fazer exercícios que envolvam essas
operações.
- Procedimentos padronizados
Além da
armazenagem de informação, o saber matemático inclui a realização
de um número muito grande de operações e rotinas a serem aplicadas
em ordem correta e com precisão. Nessas operações incluo certas
propriedades de uso sistemático. Vejamos alguns exemplos: a
comutatividade das operações elementares (cujo conhecimento diminui
o número de resultados a recordar); “o símbolo + transforma-se em
—
ao passar uma parcela para o outro lado do símbolo =”; a
realização de operações iterativas, em que a repetição é a
chave do êxito (a divisão, por exemplo). Essa habilidade inclui
também a boa utilização ou o adestramento na memória presente,
para não ficar perdido no meio de um raciocínio de muitas etapas.
Essa capacidade
para integrar diferentes informações e processá-las de maneira
mais ou menos rotineira é também parte da boa formação em
Matemática. A falta dessa capacidade gera a impossibilidade de saber
o que fazer com objetos matemáticos usuais e como prosseguir com
operações previamente estudadas.
- Linguagem, símbolos e padrões
O aprendizado da
Matemática depende muito de uma linguagem e de símbolos próprios e
específicos. Essas linguagens e simbolismos a tornam, por sua vez,
mais inacessível. Pode-se dizer que são um “mal necessário”. É
interessante observar que esses elementos decisivos no progresso da
Matemática demoraram muito para se desenvolver com toda a força:
consolidaram-se só no século XVI com o desenvolvimento da notação
e do formalismo da Álgebra.
As dificuldades
inerentes à linguagem e ao simbolismo matemáticos obrigam a tomar o
devido cuidado na utilização de tais instrumentos no ensino. A
linguagem em si não motiva; as ideias sim. Nenhum aluno pode
interessar-se por algo em que não veja algum elemento que satisfaça
ou aguce sua curiosidade. Isso é verdade inclusive para os
matemáticos que contribuem para o desenvolvimento da sua ciência.
Estão interessados nas ideias, métodos e técnicas que fazem parte
da sua disciplina. Vão introduzindo linguagens e simbolismos por
necessidades práticas. O mesmo pode se dizer no ensino:
introduzi-los quando se tornam necessários para auxiliar o
aprendizado de coisas verdadeiramente relevantes.
Nessa categoria
de problemas também entram os padrões, esquemas, palavras-chaves
que o estudante deve poder reconhecer rapidamente para utilizar as
técnicas adequadas. As representações geométricas, o
reconhecimento de figuras ou de representação gráfica (colunas,
diagonais, conjuntos de números), formam parte das perícias a que
fazemos referência neste item. Esses procedimentos incluem doses
muito grandes de abstração, pois esses padrões aparecem com
apresentações explícitas ou visuais muito diferentes. A
interpretação precisa, inclusive visual, de algumas definições
abstratas é crucial para avançar na compreensão de diversos entes
geométricos: circunferência, paralelas, equilátero.
A linguagem, os
símbolos e os padrões matemáticos bem assimilados e utilizados
sistematicamente em outras esferas da atividade e na ciência são
ferramentas de comunicação e sistematização fundamentais.
Enriquecem a capacidade de transmissão, simplificam modos de pensar,
ajudam a chegar diretamente ao cerne dos problemas. Mais ainda, o bom
manejo desses elementos na linguagem oral clarifica a apresentação
de ideias complicadas e evita circunlóquios e rodeios na descrição
de situações.
- Lógica e conceitos
As cadeias de
raciocínios, características da Matemática, são uma das questões
principais que o estudante deve aprender. Bertrand Russel escreveu
que, na realidade, a Matemática é um grande silogismo, e que uma
vez dadas certas definições, grandes áreas da Matemática se
constroem “pensando bem”. Não concordo com essa ideia in
totum:
grande parte do que me propus a descrever na primeira parte deste
artigo (em particular no primeiro item) refere-se à correspondência
da Matemática com a realidade, ao seu caráter não arbitrário.
Porém, não é menos certo que o bom aprendizado da Matemática
inclui os grandes elementos do raciocínio correto, da dedução
possível, das dependências permitidas entre conceitos.
Essas virtudes do
modo de pensar matemático não devem ser contrapostas às
características antes anotadas, em particular à necessária
memorização de definições e procedimentos; muito menos ainda nas
etapas iniciais da educação.
O progresso na
compreensão dos mecanismos lógicos necessita de um grau avançado
de conceituação, especialmente nessas etapas formativas. É
impossível raciocinar bem se os objetos do raciocínio não estão
definidos com precisão, se não se conhecem os elementos que os
constituem e seus limites. Muitas vezes uma dose generosa de memória
pode esconder grandes carências em certas conceituações (somar
quebrados sem saber muito bem o que representam as frações, por
exemplo), mas frequentemente essas carências aparecem, até porque
com o passar do tempo tudo se esquece.
A capacidade de
resolução de problemas está fortemente baseada nesses graus de
conceituação e rigor lógico: identificação das perguntas
colocadas, utilização de alternativas válidas, mudança de
estratégia para atacar o problema, em razão do fracasso de algo
utilizado previamente.
Ainda assim, as
coisas devem caminhar no seu devido tempo. Do mesmo modo como na
evolução das ideias, também no ensino os conceitos devem ser
introduzidos à medida que vão sendo solicitados pelos tópicos
ensinados, e o aluno esteja em condição de apreciar criticamente a
importância do que está aprendendo. Caso contrário, o resultado é
negativo, pois em lugar de estimular o aprendizado, produz o efeito
de gerar desinteresse por uma Matemática que trata de objetos
imperceptíveis, que não são necessários nem em sua estrutura
intrínseca.
Nisso também a
evolução da ciência dá bons exemplos: os matemáticos
profissionais lidaram com funções durante quase dois séculos antes
de chegar à sua definição geral. Somente deram uma definição
precisa (com seus conteúdos e limites) quando a resolução de
questões delicadas (de convergência) tornou isso absolutamente
necessário. A introdução prematura de conceitos, como os de função
injetiva, sobrejetiva, inversa, composta, sem a utilização adequada
desses conceitos — e, portanto, sem revelar sua real importância —
é um exercício gratuito que se exige do estudante. Gratuito e
contraproducente.
- Necessariamente estimativo
A resolução de
problemas destaca, além dos aspectos lógicos e de conceituações
anteriormente aludidos, a importância do quantitativo em Matemática:
de saber estimar resultados e descartar soluções improcedentes.
Assim como é inaceitável que quem faz cálculos para achar a
velocidade de um ônibus obtenha como resultado 900 km por hora e não
procure o erro, um aluno médio de Matemática, ao multiplicar
sucessivamente três números de um algarismo, deve descartar
resultados que envolvam milhares.
A realização de
cálculos “grosseiros” deve ser incentivada pelos professores,
ainda mais em tempos em que tais cálculos são feitos com pequenas
máquinas, perdendo-se a noção de resultado aproximado, da
estimativa. É inadmissível que o bom raciocínio, que a boa
memorização etc. não se complementem com o resultado mais imediato
do saber matemático: saber
quantificar fenômenos e acontecimentos, e operar com os números da
quantificação.
- Caráter cumulativo
Por último, creio
ser útil destacar o caráter cumulativo do conhecimento matemático.
Esse aspecto é particularmente sentido pelos docentes dos ciclos
superiores do ensino: as carências acumuladas, incluindo as
carências de informação e de sistemática, geram imensas
dificuldades na compreensão de novas ideias.
Expresso com os
devidos respeitos, pode-se ser um excelente estudioso de ramos amplos
da História sabendo-se pouco do papel de Carlos Magno na Idade
Média, mas não se pode aprender Matemática nos últimos anos do
Ensino Médio, se não se sabe somar frações. O saber matemático
não tem a apresentação de um queijo emental: uma deliciosa massa
com grandes buracos. A evolução do aprendizado da Matemática nos
ciclos primário e secundário (ensino básico) deveria de
preferência ser uma massa uniforme cujos buracos seriam considerados
como vazios a preencher.
Muitas vezes
diminui-se a importância desse caráter cumulativo dos estudos da
Matemática; considera-se uma exigência a mais dos professores,
outra reivindicação dos aspectos globais da matéria. Não é
assim. A boa compreensão dos conceitos anteriores, sua memorização,
a prática, são quase imprescindíveis para entender razoavelmente
as etapas mais avançadas. Facilita o aprendizado, consolida mais
facilmente o novo. Todos os traços analisados entre b
e f
abonam a importância do acúmulo no conhecimento matemático. Peço
ao leitor uma breve recapitulação desses itens para convencer-se de
que carências em alguns aspectos refletem-se em debilidades em
outros.
Espero que estas
anotações sobre o ensino da Matemática sejam úteis para os
leitores. De minha parte achei muito interessante e estimulante fazer
essa ordenação sobre temas que, de outra maneira, só chamam minha
atenção quando recebo as queixas que habitualmente se fazem sobre
as dificuldades para compreender a disciplina.
[Contato:
macolins@gmail.com]
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