A
porta dos desesperados (o problema de Monty Hall)
(Artigo
organizado por Marcos Antônio Colins, professor de Matemática da
Rede Estadual de Ensino do Maranhão)
Vamos supor que
você esteja participando de um programa de TV, daqueles de prêmios,
como o de Gugu Liberato ou Sílvio Santos. No programa existe um
desafio do tipo “A Porta dos Desesperados”. Trata-se de um
desafio aparentemente simples: existem três portas iguais e atrás
de uma delas (apenas uma) existe um prêmio (carro, moto,
eletrodoméstico etc.). Atrás das outras portas nada existe ou há
um monstro para lhe “encher a paciência”.
Você terá que
escolher a porta que tem o prêmio ou nada ganhará. Você faz a
escolha e o apresentador, que sabe onde está o prêmio, antes de
abrir a porta que você escolheu, abre uma das outras duas, que
mostra estar vazia e lhe pergunta se deseja trocar a sua porta pela
terceira que ainda está fechada. A questão que se coloca nesse
intrigante e enganador problema é se a troca lhe será vantajosa ou
se ela é indiferente no que diz respeito à probabilidade de ganhar
o prêmio escondido.
Este pequeno
problema, que não é tão simples quanto possa parecer, tornou-se
famoso na década de 70, nos EUA, como o problema de Monty Hall, em
homenagem ao apresentador de um programa de TV (Let’s make a deal?)
que fazia aos participantes propostas semelhantes à que descrevemos
acima. Você, provavelmente, se deixar apenas que a intuição
responda, dirá que tanto faz ficar com a primeira porta escolhida ou
mudar para a que ainda está oculta. No entanto, um pouco de
conhecimento de cálculo de probabilidades nos mostra que a mudança
da porta gera uma probabilidade duas vezes maior de ganhar o prêmio
do que a manutenção da porta inicial.
É claro que, se
existem três portas, vamos designá-las de A,
B
e C,
e você escolhe uma delas (A,
por exemplo), a sua chance de ganhar
o prêmio é de 1/3 e,
consequentemente, a chance de ter escolhido
errado é de 2/3.
Entendido esse
ponto, precisamos ter em mente que o apresentador do programa, ao
abrir uma porta que está vazia (digamos, B),
está lhe dando uma valiosa informação: “se o prêmio estava numa
das duas portas que você não
escolheu
(B
ou C),
ele agora só pode estar na porta que ele não abriu (ou seja, C).
Isso significa
que, se
você escolheu a porta errada
(e a chance disso ocorrer é de 2/3) irá sempre ganhar ao trocar
pela porta ainda não aberta. Como a chance de você ter escolhido a
porta certa é de apenas 1/3, confirmamos que a troca da porta tem,
matematicamente, o dobro da probabilidade de acerto do que a
manutenção da porta inicialmente escolhida.
A resposta
intuitiva da maioria das pessoas é de que tanto faz ficar com a
porta inicial ou mudar para a outra, com 50% de chance para cada uma,
não levando em conta a ação do apresentador do programa, que nunca
abriria a porta premiada e que abrirá uma porta não-premiada a
partir da porta que nós tivermos aberto inicialmente.
O problema em
questão, também conhecido como “paradoxo” de Monty Hall, é
usado em diversos cursos e livros de Estatística/Probabilidade, como
um exemplo de espaço não equiprovável e tem circulado pela
Internet como problema-desafio que tem surpreendido (e derrubado)
muita gente, gerando boas e acaloradas discussões.
Apresentamos uma
solução bem simples para o problema, mas ele pode também ser
resolvido (e generalizado) através do Teorema de Bayes da
probabilidade condicional.
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Sobre
o reverendo Thomaz Bayes:
num estudo publicado em 1763, ele descreveu como pensar
matematicamente sobre novas informações na tomada de decisões. Uma
das principais partes do processo de tomada de decisão é como lidar
com as incertezas, como determinar a probabilidade de que as coisas
ocorram. Provavelmente, a primeira pessoa que escreveu sobre este
tema foi o reverendo Bayes, que se dedicava a nos dizer como podemos
mudar as nossas chances a partir de novas informações que as
afetam. Então, por exemplo, agora mesmo eu ficaria muito surpreso se
passasse diante de mim uma pessoa vestida de “Caveira” ou de
“Hércules”. Mas, se de repente eu escutasse música de carnaval,
a probabilidade de que eu visse alguém fantasiado dessa forma seria
muito maior. É disso de que trata o teorema de Bayes: como atualizar
as suas crenças, as suas probabilidades, quando novos dados foram
obtidos. É o que se chama probabilidade condicional. De certa forma,
é o que ocorreu no problema de Monty Hall, quando o apresentador do
programa “escolhe” a porta que deve abrir ao fazer a proposta de
troca. É uma informação fundamental ao entendimento do problema.
[Contato:
macolins@gmail.com]
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