A carroça na frente dos bois – uma história real

A carroça na frente dos bois – uma história real

(Artigo organizado por Marcos Antônio Colins, professor de Matemática da Rede Estadual de Ensino do Maranhão)

Certa vez uma professora de Matemática foi abordada pelo seu filho, de 9 anos, que ora inicia seus estudos no 4^o ano do Ensino Fundamental, com a seguinte questão que lhe havia sido passada como tarefa de casa. Esta solicitava que o aluno atribuísse um “sim” ou “não” ao enunciado: “A operação de subtração, no conjunto dos números naturais, possui a propriedade de fechamento”.

Primeiramente fez-se necessário esclarecer o conceito de fechamento de um conjunto com relação a uma operação. A professora (mãe do aluno) exemplificou dizendo que quando somamos dois números naturais obtemos um terceiro número natural como resultado daquela operação e portanto este conjunto é fechado para a adição. Foi então que ela foi surpreendida com a observação da criança: “mas mamãe, poderia dar outra coisa?” Naquele momento sua mãe compreendeu que o problema não estava somente na falta de compreensão do novo conceito, mas principalmente na inexistência de expectativa para um aluno do 4^o ano com respeito a outros números que não os naturais, já que até aquele ponto ele nada sabia sobre números inteiros. Também não pareceu lógico à sua mãe explicar o não fechamento do conjunto com relação à operação de subtração, baseado em uma situação que ao ver da criança nunca existiria. Como justificar, que, por exemplo, 2 – 5 não é um número natural se, para ele, realizar a subtração 2 – 5 é um procedimento impossível? Na verdade, tornava-se evidente um impasse advindo da própria conceituação de operação, no caso, binária.

Uma operação binária sobre um conjunto A é uma função do produto cartesiano A × A em A. Conclui- se que para todo par ordenado (a, b) em A × A, existe um e somente um elemento de A associado ao par através dessa aplicação. Neste caso, não faz sentido falar do fechamento do conjunto A em relação à operação, pois esta deve poder ser efetuada sobre quaisquer dois elementos do conjunto dando como resultado necessariamente um elemento do conjunto. No entanto, a propriedade do fechamento pode ser definida e verificada em subconjuntos de A. Podemos considerar um subconjunto S, não vazio, de A e a mesma operação binária definida em A e induzida sobre S. Efetuando a operação entre dois elementos quaisquer de S, existem duas possibilidades:

1. O resultado da operação é sempre um elemento de S. Neste caso dizemos que S é fechado para aquela operação;
2. Para algum par de elementos de S o resultado da operação não é um elemento de S (embora pertença a A). Neste caso dizemos que S não é fechado para aquela operação.

A compreensão, segundo este ponto de vista, do não fechamento da subtração requer o conhecimento do conjunto de números inteiros. A subtração no conjunto dos números naturais não é uma operação, mas sim uma propriedade da adição: “Dados a e b Є N com a ≥ b existe um único c Є N tal que a = b + c”. Aqui c é a diferença entre a e b e escreve-se c = a – b.

Conclui-se que o problema é conceitual, exigindo grande rigidez e formalização. Não é de se esperar que uma criança antes de completar a primeira década de vivência e aprendizagem esteja preparada e amadurecida para analisar, refletir, e compreender situações de tamanha abstração.

Cabe a nós, professores e pais, tentarmos estar sempre atentos para a forma de raciocínio objetivo, concreto e cristalino de nossas crianças. Antes que lhes sejam impingidas e cobradas listas de propriedades a respeito de um conceito novo, é imprescindível que lhes sejam fornecidos materiais em exemplos e exercícios e os mais diversos subsídios, para que, estimuladas pela curiosidade, percebam a existência de um universo bem maior do que aquele conhecido por elas. Depois elas mesmas irão deduzindo propriedades e tirando suas próprias conclusões. Tudo isso feito a seu tempo, caminhando sem atropelos, como os bois na frente da carroça, que lentamente efetuam o seu trabalho e atingem o seu objetivo.

[Contato: macolins@gmail.com]