As ternas pitagóricas

As ternas pitagóricas

(Artigo organizado por Marcos Antônio Colins, professor de Matemática da Rede Estadual de Ensino do Maranhão)

Muito frequentemente, mencionamos em sala de aula a terna de números pitagóricos 3, 4, 5. Uma forma natural de introduzi-la é, após o estudo do Teorema de Pitágoras, propor à classe encontrar as medidas dos lados de um triângulo retângulo sabendo que são números inteiros e consecutivos. Podemos, em seguida, propor a generalização natural desta questão: determinar todas as ternas de números inteiros que sejam as medidas dos lados de algum triângulo retângulo. Explicamos, então, que uma terna de tais números é chamada reduzida se seus componentes não tiverem fator comum distinto da unidade.

A resposta para essa questão é dada pelo seguinte teorema:

Se p e q tomam todos valores inteiros, restritos somente às condições

1. p > q > 0,
2. p e q são primos entre si,
3. p e q não são ambos ímpares,

então as expressões x = p² – q², y = 2pq, z = p² + q² fornecerão todas as ternas pitagóricas reduzidas, e cada terna somente uma vez.

Normalmente encerramos a questão por aqui. Há, porém, uma curiosidade perfeitamente pertinente que podemos acrescentar, enriquecendo o assunto. Trata-se da seguinte propriedade:

Em qualquer terna pitagórica reduzida, os números 3, 4 e 5 estão presentes.

Devemos entender que 3, 4 e 5 estão presentes como fatores dos elementos da terna, eventualmente os três números como fatores de um mesmo elemento. Por exemplo, usando o teorema mencionado anteriormente com p = 6 e q = 5, obtemos a terna pitagórica reduzida (11, 60, 61) onde 3, 4 e 5 são fatores de 60.

Para demonstrar a propriedade, usamos o teorema mencionado. Seja então uma terna pitagórica (p² – q², 2pq, p² + q² ), com p e q naturais restritos às condições (1), (2) e (3).

• O fator 4 sempre vai estar no elemento 2pq.

É óbvio por (3), pois um dos números, p ou q, é par.

• Se o fator 3 não ocorrer no elemento 2pq, então ele estará em p² – q².

De fato, dividindo p e q por 3, encontraremos resto 1 ou 2, ou seja, estes números são da forma 3k + 1 ou 3k + 2. Em qualquer caso, o quadrado é da forma 3k + 1. Portanto, a diferença p² – q² de dois números da forma 3k + 1 é divisível por 3.

• Se o fator 5 não ocorrer no elemento 2pq, então ele estará em p² – q² ou em p² + q².

De fato, dividindo p e q por 5, encontraremos para resto um dos números: 1, 2, 3 ou 4. Isto é, p e q são de uma das formas: 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, ou 5k + 4. O quadrado de qualquer um desses números é da forma 5k + 1 ou 5k + 4. Assim, se p e q forem do mesmo tipo (5k + 1 ou 5k + 4), p² – q² será múltiplo de 5. Caso contrário, o fator 5 estará em p²+ q².

Moral da história:

Numa terna pitagórica não há como escapar dos números 3, 4 e 5!

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